Conjuntos

Asignatura: Matemáticas |

En forma esquemática y resumida, vamos a intentar aclarar algunos conceptos importantes sobre el tema:

Producto cartesiano de dos conjuntos
Sean los conjuntos A={1,2,3} y B={a,b,c}.

Se llama producto cartesiano A x B, al conjunto de todos los posibles pares de elementos ordenados.

O sea:
A x B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}

-todos los posibles: Cada elemento del primer conjunto A, forma parte con todos los del segundo B y al contrario.

-pares de elementos: Los elementos del producto están formados por dos elementos en forma de par: primera componente y segunda componente.

-ordenados: La primera componente debe ser del primer conjunto y la segunda componente del segundo conjunto.

En general:
A x B={(x,y)/x∈A; y∈B}

Relación binaria. Propiedades
Consideramos el conjunto A={gato, perro, sardina}.
Establecemos la relación de “vivir en el mismo medio”.

Decimos que:
Una relación binaria es una ley o criterio establecido entre los elementos de un mismo conjunto.

Las relaciones binarias se representan por:
-diagrama sagital

-pares: subconjunto del producto cartesiano A x A. Se llama grafo de la relación:

G={(p,p),(p,g),(g,p),(g,g),(s,s)}

Las relaciones binarias pueden tener varias propiedades:
1)Reflexiva: “Todo elemento se relaciona consigo mismo”.
aRa, ∀a∈A

2)Simétrica: “Si un elemento a está relacionado con otro b, entonces b se relaciona con a”.
Si aRb ⇒ bRa

3)Antisimétrica: “Si un elemento a está relacionado con otro distinto b, entonces b no se relaciona con a”.

4)Transitiva: “Si a se relaciona con b y b se relaciona con c, entonces a se relaciona con c”.
Si aRb y bRc ⇒ aRc

Relación de equivalencia
En el conjunto A de los ríos de España establecemos la relación binaria de “desembocar en el mismo mar que”:

1)Reflexiva: Todo río desemboca en el mismo mar que él mismo.

2)Simétrica: Si un río “a” desemboca en el mismo mar que otro “b”, este “b” desemboca en el mismo mar que “a”.

3)Transitiva: Si “a” y “b” desembocan en el mismo mar y a su vez “b” y “c” desembocan en el mismo mar, es evidente que “a” y “c” desembocan en el mismo mar.

Toda relación binaria que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva es una relación de equivalencia.

-Toda relación binaria de equivalencia divide al conjunto en varios subconjuntos o clases.

Cada subconjunto se llama clase de equivalencia. Son disjuntos (no hay ningún río que desemboque en dos mares a la vez).

-Al conjunto nuevo formado al tomar como elementos las clases anteriores, se llama conjunto cociente. En el ejemplo, el conjunto cociente será:
A/R={vert. atlántica, vert. mediterránea, vert. cantábrica}

Relación de orden
Dado el conjunto N de los números naturales establecemos la relación “ser múltiplo de”.

Esta relación es:
1)Reflexiva: Todo número es múltiplo de sí mismo, a=a ∀a∈N.

2)Antisimétrica: Si un número a es múltiplo de otro b y b no es múltiplo de a, entonces a es distinto de b.

3)Transitiva: Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c entonces a es múltiplo de c.

Toda relación binaria que cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, es una relación de orden.

Las relaciones de orden pueden ser:
-Totales: Si todos los elementos se relacionan. O aRb ó bRa.

-Parciales: Hay elementos que se relacionan y otros que no se relacionan.

El conjunto se dirá totalmente ordenado o parcialmente ordenado, según el tipo de relación de orden introducido.

Definición de los números naturales (N)
Consideremos la relación de coordinabilidad entre conjuntos. Esta relación tiene las propiedades:

1)Reflexiva: Cualquier conjunto es coordinable consigo mismo.

2)Simétrica: Si un conjunto A es coordinable con otro B, este es coordinable con A.

3)Transitiva: Si un conjunto A es coordinable con otro B y este es coordinable con un tercero C, entonces A es coordinable con C.

Por tanto, esta relación es de equivalencia. La relación de coordinabilidad clasifica los conjuntos en clases de equivalencia. En cada una de las clases están todos los conjuntos que son coordinables entre sí, es decir, que tienen el mismo número de elementos.

A cada clase de equivalencia se designa por un nombre o símbolo y se denomina número natural.

El conjunto {0,1,2,3,4, …}=N es el conjunto de los números naturales.

Contar un conjunto es establecer una aplicación biyectiva entre dicho conjunto y un subconjunto de los números naturales.

Correspondencia
Correspondencia entre dos conjuntos A y B es todo criterio que permite asignar a elementos del primer conjunto A, elementos del segundo conjunto B.

Las correspondencias se simbolizan por letras minúsculas f, g, h, etc.

Una correspondencia entre los conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={3,4,5,16,18,25} puede ser la representada en el diagrama siguiente:

Se llama grafo de la correspondencia al conjunto de pares ordenados del producto cartesiano A x B que cumplen el criterio dado.

Así, el grafo de la correspondencia representada anteriormente será:

Conjuntos inicial, final, origen e imagen
En toda correspondencia entre dos conjuntos A y B se pueden considerar los siguientes conjuntos:

-Conjunto inicial: Es el primer conjunto A.
-Conjunto final: Es el segundo conjunto B.
-Conjunto origen: Es el conjunto de elementos de A que tienen imagen en B [Or(f) = Dom(f)].
-Conjunto imagen: Es el conjunto de elementos de B que tienen antiimagen en el A [Im(f)].

En la correspondencia establecida en el ejemplo anterior se pueden considerar los conjuntos:
-Conjunto inicial: A={1,2,3,4,5}.
-Conjunto final: B={3,4,5,16,18,25}.
-Conjunto origen: Or(f)={2,4,5}.
-Conjunto imagen: Im(f)={4,16,25}.

Funciones y aplicaciones
Aplicación de A en B es una correspondencia tal que todo elemento del conjunto inicial A tiene una imagen y sólo una en el conjunto final B.

Las aplicaciones también se llaman funciones uniformes.

Una aplicación es la representada a continuación:

Aplicaciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva
Una aplicación entre dos conjuntos A y B es inyectiva cuando además de ser aplicación cumple la condición de que ningún elemento del conjunto final tiene más de un origen (uno o ninguno).

Una aplicación inyectiva es la siguiente:

Una aplicación entre dos conjuntos A y B es suprayectiva cuando además de ser aplicación todos los elementos del conjunto final tienen algún origen (uno o más). Así:

Aplicación biyectiva entre dos conjuntos A y B es la aplicación que es a la vez inyectiva y suprayectiva. Por ejemplo:

 

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Enviado por M. Álvarez el 25 agosto, 2011. Asignatura Matemáticas. Puedes seguir cualquier aportación hecha por los usuarios a esta entrada mediante RSS 2.0. O dejar tu opinión.

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