Cubo. Ortoedro. Unidades de volumen

Asignatura: Matemáticas |

Observemos un dado. Si prescindimos de la materia de que está hecho, de su color, etc., constituye un cuerpo geométrico denominado cubo.

-Está limitado por seis cuadrados iguales, llamados caras.
-Cada uno de los lados comunes a dos de estos cuadrados es una arista del cubo.
-Los puntos donde concurren tres aristas son los vértices del cubo.

¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene el cubo? El cubo tiene seis caras cuadradas, doce aristas iguales y ocho vértices.

Construcción del cubo
Dibujemos en una cartulina las seis caras del cubo tal como indica la figura. Doblemos después por las aristas y peguemos las pestañas señaladas en color oscuro.

El ortoedro. Definición y propiedades
Observemos una caja de cerillas. Prescindiendo de la materia de que está hecha y atendiendo solamente a la forma, constituye un cuerpo geométrico llamado ortoedro.

Está limitado por seis rectángulos, dos a dos iguales y paralelos, llamados caras.

¿Cuántas aristas y vértices tiene? Como el cubo, el ortoedro tiene seis caras, doce aristas y ocho vértices.

Hay tres grupos de cuatro aristas iguales entre sí.

La longitud común de las cuatro aristas de uno de estos grupos se llama una dimensión del ortoedro. Así, este tiene tres dimensiones: largo, ancho y alto.

Si se supone que el ortoedro reposa sobre el suelo, la cara en contacto con el mismo se llama base, así como la cara opuesta. Las restantes son las caras laterales.

El cubo es un ortoedro cuyas tres dimensiones son iguales.

Construcción del ortoedro
Supongamos que queremos construir un ortoedro de 3 cm de largo, 2 cm de ancho y 1,5 cm de alto. Dibujemos en una cartulina sus seis caras, como se indica en la figura. Doblemos después por las aristas y peguemos las pestañas señaladas en color oscuro.

Ejercicio: Dibuja un ortoedro y nombra: a)vértices adyacentes; b)vértices opuestos; c)aristas perpendiculares; d)aristas paralelas; e)aristas que se cruzan; f)caras paralelas; g)caras perpendiculares.

Solución:
a)A y B, A y E, C y G, F y G.
b)A y G, B y H, E y C, D y F.
c)AE y AB, BC y CD, DH y EH, …
d)AB, EF y DC; BC, FG, EH y AD; AE, BF, CG y DH.
e)AE y HG, BC y DH, …
f)ABCD y EFGH; ABEF y DCHG; ADEH y BCFG.
g)ADEF y EFHG; BCFE y ABCD, …

Paralelepípedos
Construye un ortoedro ABCDEFGH, de plastilina, y colócalo sobre la mesa.

En la cara superior, EFGH, señala un segmento MN paralelo a uno de los lados menores (ancho). Da un corte según un plano no paralelo a la cara AEHD que pase por MN y por BC.

Coloca la cuña obtenida de modo que la cara BCFG coincida con la ADHE. Obtenemos así un cuerpo geométrico ABCDMNM’N’, llamado paralelepípedo. Sus dos bases son rectángulos, pero las cuatro caras laterales son paralelogramos.

Ejercicio: A partir del paralelepípedo anterior ABCDMNM’N’, ¿cómo construirías otro con las cuatro caras laterales paralelogramos?

Solución: Se traza en la base superior un segmento PQ paralelo a uno de los lados mayores M’M (largo).

Damos un corte en forma de cuña que pase por PQ y AB. Unimos la cuña cortada de modo que la cara ABN’N coincida con DCM’M.

Ejercicio: A partir del paralelepípedo ABCDPQQ’P’, ¿cómo construirías otro con las seis caras paralelogramos?

Solución: Bastará trazar en la cara de delante un segmento RS paralelo a AP (alto) y dar un corte en forma de cuña que pase por RS y DP’.

En general:
El paralelepípedo es un cuerpo geométrico con seis caras, que son paralelogramos, siendo las opuestas iguales y pertenecientes a planos paralelos.

Dos casos particulares son el ortoedro, cuyas seis caras son rectángulos y el cubo con las seis caras, cuadrados.

Volumen
Un juego de rompecabezas se compone de muchas piezas iguales. Con ellas armamos distintos cuerpos: A, B y C:

que ocupan una determinada parte del espacio de tres dimensiones.

Para tener una idea de la porción del espacio que ocupan, podemos elegir como unidad de comparación una de las piezas del rompecabezas. De este modo, a cada cuerpo le podemos asociar un número que indica la extensión de espacio que ocupa:

A este número se llama volumen. Así:
V(A) = 4
V(B) = 3
V(C) = 5

Podemos deducir inmediatamente que el volumen tiene las siguientes propiedades:

1.ª)Es un número mayor o igual que cero:
V(A) ≥ 0

2.ª)Si dos cuerpos son iguales, tienen igual volumen:
A = B ⇒ V(A) = V(B)

3.ª)Si juntamos los cuerpos A y B se forma otro cuerpo F, cuyo volumen es la suma de los volúmenes de A y B.
Es decir, V(A ∪ B) = V(A) + V(B) = V(F).

Podemos resumir todo lo expuesto en la siguiente definición: Volumen de un cuerpo es la medida que expresa la porción del espacio de tres dimensiones que ocupa dicho cuerpo.

Dos cuerpos, aunque no sean iguales, si tienen igual volumen, se llaman equivalentes. Ejemplo: el cuerpo H y M son equivalentes.

Volumen del cubo
Tomemos de momento como unidad de volumen el de un cubo de 1 cm de arista, al que denominaremos centímetro cúbico. Se escribe cm3.

Hallemos el volumen de un cubo de 4 cm de arista.

¿Cuántos cubos de 1 cm3 hay en cada capa?
4 x 4 = 16

¿Cuántas capas idénticas a la anterior llena el cubo?
4 capas

¿Cuánto es el máximo número de cubos de 1 cm3 que cabe en el cubo?
16 x 4 = (4 x 4) x 4 = 64 cm3

Por tanto:
Volumen del cubo = arista x arista x arista = a3

Volumen del ortoedro
De idéntica manera que en el cubo, hallemos el volumen de un ortoedro de 5 cm de largo, 4 cm de ancho y 3 cm de alto.

¿Cuántos cubos de 1 cm3 se pueden colocar sobre el fondo del ortoedro?
5 x 4 = 20 cm3

¿Cuántas capas análogas a la anterior pueden meterse en el ortoedro?
3 capas

¿Cuál es el máximo número de cubos de 1 cm3 que caben en el ortoedro?
20 x 3 = 5 x 4 x 3 = 60 cm3

Volumen del ortoedro = largo x ancho x alto = l • a • h

Ejercicio: Una maleta tiene las siguientes dimensiones: 75,4 cm de largo, 51,3 cm de ancho y 24 cm de alto. Halla su volumen en centímetros cúbicos.

Solución:
V = l • a • h = 75,4 x 51,3 x 24 = 92.832,48 cm3

Medidas de volumen
En el apartado anterior vimos que el volumen es un número que expresa la medida de la extensión de los cuerpos en el espacio de tres dimensiones.

Ahora bien, el valor de esta medida depende del cuerpo que elijamos como referencia para comparar los demás cuerpos. El volumen de dicho cuerpo sirve de unidad.

A continuación estudiaremos las unidades de volumen más utilizadas y las relaciones que se establecen entre ellas.

Unidades de volumen
Fíjate en la figura que representa un cubo de 1 dm de arista. Su volumen lo elegimos como unidad y lo denominaremos decímetro cúbico. Se escribe dm3.

-El decímetro cúbico puede dividirse en 10 capas, compuesta de 10 columnas de 10 cm3 cada una.

1 dm3 = 10 x 10 x 10 cm3 = 1.000 cm3

-Del mismo modo, el centímetro cúbico (cm3) se puede dividir en 1.000 milímetros cúbicos (mm3):

1 cm3 = 10 x 10 x 10 mm3 = 1.000 mm3

La unidad fundamental de volumen es el metro cúbico (m3), que es el volumen de un cubo de 1 m de arista:

1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000.000 cm3 = 1.000.000.000 mm3

Una unidad de un orden es 1.000 veces menor que la del orden inmediato superior.

1 dm3 = 0,001 m3 (milésima parte del m3)
1 cm3 = 0,000001 m3 (millonésima parte del m3)
1 mm3 = 0,000000001 m3 (milmillonésima parte del m3)

Se necesita un grupo de tres cifras para representar cada unidad.

Cambio de unidad
Sea, por ejemplo, la cantidad 37,6254 m3. Para expresarla en dm3, cm3 o mm3, basta multiplicarlo por 1.000, 1.000.000, 1.000.000.000, ya que:

1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000.000 cm3 = 1.000.000.000 mm3

Por tanto,
37,6254 m3 = 37.625,4 dm3 = 37.625.400 cm3 = etc

Al contrario, para expresar la cantidad dada en unidades de orden superior, habrá que dividir por 1.000, 1.000.000, etc. Así:

5.023.715,670 cm3 = 5.023,715670 dm3 = 5,023715670 m3

Ejercicio: Convierte en cm3: la décima de m3; 10 dm3; 7.250 mm3; la centésima de dm3; ½ m3; ¼ dm3.

Solución:
0,1 m3 = 100.000 cm3
10 dm3 = 10.000 cm3
7.250 mm3 = 7,250 cm3
0,01 dm3 = 10 cm3
½ m3 = 500.000 cm3
¼ dm3 = 250 cm3

Reducción de complejos a incomplejos y viceversa
Supongamos que al medir el volumen de una habitación se obtenga el número complejo 372 m3, 5 dm3, 43 cm3. Pero como 372 m3 son 372.000.000 cm3 y 5 dm3 son 5.000 cm3, el volumen de la habitación será:

372.000.000 + 5.000 + 43 = 372.005.043 cm3

Ejercicio: Escribe el número complejo 52 dm3, 3 cm3, 608 mm3 en mm3.

Solución:

52 dm3, 3 cm3, 608 mm3 = 52.003.608 mm3

Recíprocamente, si tenemos el volumen siguiente: 92.832,480 cm3 podemos escribirlo como 92 dm3 832 cm3 480 mm3. Es decir:

92.832,480 cm3 = 92 dm3 + 832 cm3 + 480 mm3

Ejercicio: Pasar a complejo el número 5.023.715,67 cm3.

Solución:

5.023.715,67 cm3 = 5 m3 23 dm3 715 cm3 670 mm3

 

WordPress Developer | WordPress Developer India | Freelance Web Developer




O quizás prefieras buscar por temas:
, , , , ,

Enlázanos:



 ¡Si necesitas este artículo en formato Word para algún trabajo solicíta el envío gratuito por E-mail pero recuerda que siempre es mejor adquirir conocimientos y desarrollarlos que presentar una copia!


Enviado por M. Álvarez el 2 febrero, 2012. Asignatura Matemáticas. Puedes seguir cualquier aportación hecha por los usuarios a esta entrada mediante RSS 2.0. O dejar tu opinión.

2 Comentarios en Cubo. Ortoedro. Unidades de volumen

  1. Un trabajo espectacular. Mil gracias.

    José
    14 noviembre, 2012 a las 20:31
    Responder

  2. Esto me sirvió de mucho. Gacias XD

    Anónimo
    19 agosto, 2013 a las 23:20
    Responder

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos necesarios están marcados *

*


+ uno = 9

Puedes usar las siguientes etiquetas y atributos HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>