Nociones de estadística

Asignatura: Matemáticas |

Frecuentemente habrás oído o leído afirmaciones generales como las siguientes: “Los habitantes de tal región geográfica son los más altos de México”, “El clima de la provincia X es el más frío de España”, “La producción de automóviles en el próximo año crecerá aproximadamente en un 4%”, “Las temperaturas en los próximos días experimentarán un paulatino aumento”, etcétera.

Para tener seguridad de que estos enunciados son ciertos o fiables, es necesario realizar muchas observaciones y coleccionar datos de una determinada población. La población puede ser un conjunto de personas, animales u objetos en general.

La ciencia que da métodos científicos para tratar dichos datos es la Estadística.

El objeto de la Estadística es, pues, recoger y coleccionar datos de una determinada población, clasificarlos, presentarlos gráficamente y hacer una interpretación y análisis de los mismos.

El análisis de los resultados y cálculos estadísticos permite hacer predicciones y prever comportamientos futuros con bastante fiabilidad. Por ejemplo, se puede conocer de antemano el resultado aproximado de unas elecciones, la población que tendrá Paraguay dentro de cinco años, los gustos o preferencias de la gente ante un nuevo producto que lanzará la industria al mercado sin necesidad de consultar a todos los posibles compradores, etc.

Dato estadístico y población o colectivo
Dato estadístico es el resultado de una observación.

Por ejemplo, si se trata de un vagón con determinadas piezas cuyo peso estamos estudiando, un dato será el peso de una pieza.

El conjunto de piezas del vagón forma un colectivo, población o universo.

Población o colectivo en estadística, es el conjunto de elementos cuyas características se tratan de estudiar.

La característica que se estudia en una población se llama atributo si no se expresa con números y variable estadística si se puede expresar con números.

Por ejemplo, si elegimos como colectivo los alumnos de un colegio, el color de sus cabellos, es un atributo. Si en cambio, estudiamos el peso de los mismos, la característica “peso” es una variable estadística pues puede expresarse mediante números.

Muestra
Si queremos saber, por ejemplo, cuál es el deporte preferido de los alumnos de una ciudad, deberíamos preguntar a todo el colectivo, es decir, a todos los alumnos. Sin embargo, es lógico pensar que para dicho estudio no es necesario preguntar a cada uno de los alumnos su opinión; tomaremos una muestra, es decir, escogeremos unos cuantos centros escolares y en estos una serie de alumnos que creamos representativos de toda la población escolar.

Muestra es un subconjunto de la población que se considera. Los datos que se recogen de la muestra es un subconjunto de valores de la variable estadística.

Evidentemente, los resultados de un estudio estadístico dependerán de la muestra tomada. Si queremos que las conclusiones sean fiables, la muestra debe ser representativa.

Ejercicio: Para hallar la altura de los niños de 8 años de una provincia se ha tomado como muestra 30 niños de un colegio. ¿Es representativa dicha muestra?

Solución: En principio podemos pensar que no, y por tanto, los resultados no serán fiables, pues:

-son pocos elementos de muestra (el colectivo puede dar hasta 50.000 datos en una ciudad grande);
-son poco variados, por haber hecho la elección en un solo colegio.

Tablas estadísticas y su representación gráfica
Realicemos la experiencia de recoger en el Anuario Estadístico de España los datos de la producción de energía eléctrica que hubo entre los años 1946-1976. Los datos serán las producciones obtenidas en los distintos años. Estos se acostumbran a colocar en una tabla, llamada tabla estadística, como la siguiente:

Estos datos dicen poco, así a primera vista. Resulta mucho más esclarecedor disponerlos en un gráfico que nos dé, a simple vista, una idea clara del aumento o disminución de la producción que hubo durante esos años.

Son muy variados los tipos de gráficos empleados en las aplicaciones prácticas. Los más importantes son los siguientes: diagramas lineales, diagramas de barras, diagramas de sectores, pictogramas, cartogramas, diagramas de puntos, histogramas.

Diagramas lineales
Es muy corriente representar gráficamente las temperaturas de un enfermo en un papel parecido al de la siguiente figura:

Dichas temperaturas, tomadas cada seis horas durante los días que dura la enfermedad, se llevan en las ordenadas. Los puntos representativos se unen luego por segmentos rectilíneos, no porque la variación sea así efectivamente, sino porque, desconociendo dicha variación intermedia, es más cómodo unirlos por rectas que por curvas. Se obtiene así lo que se llama diagrama lineal. En él se observan claramente las oscilaciones de la fiebre, la brusquedad y las horas del día en que se verificaron, etc., datos todos ellos del mayor interés para el estudio y curación de la enfermedad.

Ejercicio: Halla el gráfico de la producción de energía eléctrica en la España de 1946-76, según las dos tablas anteriores, y explícalo.

Solución: Tomamos los años en el eje de abscisas y la producción en el eje de ordenadas, y representamos:

a)La de origen térmico (o sea, producida quemando hulla o lignito). A partir de 1971 se considera también la energía nuclear dentro de la térmica y se ve el gran aumento experimentado, llegando a superar con mucho a la hidráulica.

b)La de origen hidráulico (en los saltos de agua o hulla blanca).

c)La línea superior representa la energía total.

Diagramas de barras
Se representan las cantidades por barras de longitud variable, pero de anchura uniforme. Dichas barras pueden ser verticales, o bien horizontales.

Vamos a representar los alumnos matriculados en el curso 1974-75 en las universidades de España. La anchura de las barras será la misma para todas las facultades y escuelas superiores. La altura corresponderá al número de alumnos. Obtenemos el siguiente diagrama de barras:

Diagramas de sectores
Es un gráfico de forma circular, subdividido en sectores. El área de cada sector indica la proporción de cada componente respecto al todo. Ya que los sectores tienen todos el mismo radio, sus áreas son proporcionales a los ángulos centrales respectivos, o bien a las longitudes de sus arcos. Lo más sencillo es, por tanto, repartir los 360 grados que miden todos los ángulos centrales, proporcionalmente a las cantidades que se quieran representar.

Ejercicio: Representar mediante un diagrama de sectores la producción mundial de aceite de oliva, sabiendo que la media de un cierto período ha sido:

Solución: Repartiremos los 360 grados del centro de la circunferencia proporcionalmente a las producciones de cada país, así:

Llevando con el transportador estos ángulos en el centro de la circunferencia, se tiene el gráfico que sigue:

Pictogramas
Son diagramas de barras, en que estas en vez de estar representadas por un rectángulo, pueden estarlo por una pila de monedas, si se trata de cantidades de dinero; por una serie de ovejitas, si se trata de rebaños; por una serie de alumnos, si se quiere representar los alumnos de una cierta clase de enseñanza, etc. Si queremos, por ejemplo, expresar el desarrollo de la Enseñanza Primaria en España antes de la democracia, hacemos que cada dibujito represente 30.000 alumnos, y el pictograma de la figura que sigue hace ver claramente el rápido desarrollo de este tipo de enseñanza.

Cartogramas
Representan en forma de pictograma los hechos de una distribución geográfica, por ejemplo la producción por regiones de un cierto producto, la densidad de población, la cantidad de lluvia caída, etc. Pueden expresarse mediante varios grados de sombreado, mediante rayados más o menos densos o mediante los diversos matices de varios colores. La figura siguiente representa la producción de aceite en España por provincias:

Diagramas de puntos
En las ciencias y en la industria se presentan con frecuencia conjuntos de valores numéricos que resultan de las observaciones efectuadas a propósito de un fenómeno determinado.

Así, en un examen de Matemáticas de cincuenta alumnos las puntuaciones fueron:

El estudio de estos datos se hace mucho más sistemático si se dispone de una tabla como la que sigue, en la que al lado de cada nota se coloca el número de alumnos que la han obtenido o frecuencia (se hace el recuento poniendo una rayita por cada alumno que tiene la nota correspondiente):

El estudio se hace aún más intuitivo mediante un diagrama de puntos como el de esta figura:

En él se han colocado las diversas notas en el eje de las abscisas. En la ordenada respectiva se han puesto tantos puntos como indique su frecuencia. Así, cada punto representa un alumno. El valor más frecuente de la distribución, o sea, la nota que han tenido mayor número de alumnos, es el 7. Este valor se denomina moda de la distribución. A uno y otro lado del 7 la frecuencia disminuye paulatinamente, siendo mínimas en los extremos. Distribuciones de esta naturaleza son frecuentes en la vida corriente.

Histogramas
De ordinario una tabla de frecuencias se representa mediante rectángulos. Esta representación gráfica se denomina histograma.

Ejercicio: Echamos dos dados 3.600 veces, y cada vez anotamos la suma de los dos números que han salido. Las sumas posibles van desde 1+1=2 hasta 6+6=12. Pues bien, obtenemos que dichas sumas salen el siguiente número de veces:

Representar la tabla de frecuencias mediante un histograma.

Solución: Colocamos en el eje de abscisas los valores de las sumas de 2 a 12, y tomándolos como puntos medios de los respectivos intervalos, levantamos sobre ellos rectángulos cuyas alturas sean iguales a las frecuencias correspondientes. Así, estas son proporcionales a las áreas de los rectángulos, ya que las bases de todos ellos son iguales.

Observamos en la figura que el valor 7 es el que tiene frecuencia máxima; que, en cambio, la frecuencia de los valores extremos, 2 y 12, es mínima, y que la frecuencia de un determinado valor es tanto mayor cuanto más próximo esté el valor central. Además, las frecuencias a uno y otro lado de dicho valor central presentan perfecta (o casi perfecta) regularidad y simetría. Una distribución de este tipo es muy frecuente en la vida corriente.

Curvas de frecuencia
Se han hecho un millar de disparos con un cañón para dar en un blanco. Entre la distancia menor, que designamos con 1, y la distancia mayor, que designamos con 11, se han encontrado los siguientes números de impactos:

Si en un sistema de ejes de coordenadas cartesianas representamos las distancias en el eje de abscisas, el número de impactos en el eje de ordenadas, y unimos entre sí los puntos obtenidos, se tiene lo que se llama el polígono de frecuencias.

LA CURVA NORMAL
Si en el ejemplo anterior aumentamos el número de pruebas (disparos) y disminuimos cada vez más la amplitud de los intervalos, resultará que los puntos representados estarán cada vez más próximos, y el polígono de frecuencias tenderá a convertirse en una curva de forma acampanada, llamada curva de probabilidad. En muchos casos esta es la denominada curva normal. En la figura se han representado dos ejemplos:

Al representar gráficamente las distribuciones de frecuencia correspondientes a la observación de diferentes fenómenos naturales (estaturas de un grupo de personas, errores de observación en medidas astronómicas, zona de dispersión del tiro de artillería alrededor del blanco, etc.), se ve que las curvas obtenidas se acercan a la curva normal, tanto más cuanto mayor es el número de casos estudiados.

En general, si en los fenómenos naturales medimos la desviación que presentan a lo largo de la escala cada uno de los grupos sucesivos de la distribución de frecuencias a partir del punto de máxima concentración, se tendrá, en gran número de casos, que: 1.º Las desviaciones pequeñas son mucho más frecuentes que las grandes; 2.º Las desviaciones extremas son raras; 3.º Las desviaciones a uno y otro lado del punto de máxima concentración presentan perfecta (o casi perfecta) regularidad.

 

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Enviado por M. Álvarez el 17 octubre, 2011. Asignatura Matemáticas. Puedes seguir cualquier aportación hecha por los usuarios a esta entrada mediante RSS 2.0. O dejar tu opinión.

Una opinión en Nociones de estadística

  1. Hola, está muy bien. Es la matemática, cierto.

    Yurismar Flores
    26 junio, 2012 a las 6:26
    Responder

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